Krzywe Lissajous - piękno drgań
Poniższy artykuł został opublikowany pierwotnie w miesięczniku Młody Technik (6/2015):
Wstęp
Myślę, że na początku szanownym czytelnikom należy się kilka wyjaśnień. Czym są enigmatyczne krzywe (czasem nazywane figurami) Lissajous?
Matematyk lub fizyk odpowiedziałby natychmiast, że są to krzywe parametryczne dane wzorem:
Krzywe te opisują drgania harmoniczne. Po raz pierwszy opisał je amerykański matematyk Nathaniel Bowditch, ale są one bardziej znane pod nazwiskiem Julesa Antoine Lissajous, ponieważ to on zaczął je badać z wykorzystaniem zbudowanego przez siebie przyrządu.
Jules Antoine Lissajous żyjący w latach 1822-1880 był francuskim matematykiem i fizykiem. Studiował na École Normale Supérieure, po uzyskaniu stopnia naukowego doktora pełnił funkcję rektora Akademii Chambéry, a następnie Akademii Besançon. Lissajous interesował się w szczególny sposób falami akustycznymi. Opracował przyrząd zbudowany z drgających kamertonów z osadzonymi na nich zwierciadłami. Umożliwiał on obserwację krzywych, nazwanych później na cześć uczonego.
Rozumiem, że powyższy wzór może nie przekonać wszystkich, a w szczególności tych, którzy z jakichś niewiadomych mi powodów czują awersję do opisu matematycznego. Na szczęście można to też wyjaśnić w sposób graficzny (Rys.1). Rysunek ten ukazuje trzy najprostsze przypadki krzywych Lissajous, czyli wtedy kiedy częstotliwości obu drgań sinusoidalnych zachodzących w prostopadłych do siebie płaszczyznach (składowych x i y) są jednakowe. Przypadki A, B i C różnią się jednak przesunięciem w fazie, to jest argumentem φ w przytoczonym uprzednio wzorze. I tak mamy:
- fazy drgań składowych zgodne (φ = 0) - krzywa jest odcinkiem (Ryc. 1A),
- faza jednego drgania przesunięta względem drugiego o 90º (φ = π/2) – krzywa jest kołem (Ryc. 1B),
- faza jednego drgania przesunięta względem drugiego o 180º (φ = π) – krzywa jest lustrzanym odbiciem odcinka z przypadku A (Ryc. 1C).
Odpowiednio dobierając obie częstotliwości i przesunięcie fazowe można uzyskać odmiennie krzywe, często o zaskakująco estetycznym wyglądzie.
Jak jednak uzyskać takie krzywe, szczególnie jeśli nie chce się ich po prostu kreślić żmudnie na kartce papieru lub ekranie komputera?
Sposobów jest wiele. Można na przykład (jak sam Lissajous) obserwować promień światła odbity od zwierciadeł drgających w prostopadłych płaszczyznach. Dobrym sposobem jest też wykorzystanie oscyloskopu, który posiada możliwość odchylania plamki zarówno w osi X, jak i Y – wystarczy wtedy podłączyć do urządzenia dwa sygnały elektryczne o regulowanej częstotliwości i fazie.
Wreszcie, do wykreślenia krzywych Lissajous można wykorzystać też właściwości wahadła o odpowiedniej konstrukcji.
Doświadczenie
By uzyskać krzywe Lissajous w domowych warunkach, wygodnie jest się posłużyć wahadłem o odpowiedniej konstrukcji (Rys.2).
Zastanówmy się, w jaki sposób będzie działało takie wahadło. Wiemy, że dla niewielkich wychyleń okres T drgań wahadła można opisać wzorem:
gdzie: l – długość wahadła, g – ziemskie przyspieszenie grawitacyjne. Wahadło o proponowanej konstrukcji w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny rysunku rysunku będzie wykazywać drgania o okresie T1, zaś w płaszczyźnie rysunku o okresie T2. Okresy drgań będą się różnić, z powodu różnicy efektywnej długości wahadła w tych płaszczyznach, odpowiednio L1 i L2. Jeśli L2 będzie niewiele mniejsze od L1 to nie zaobserwujemy wyraźnej różnicy częstotliwości drgań. Będzie się natomiast zmieniać wzajemne przesunięcie w fazie (w zakresie od 0 do 2π), ponieważ jedno drganie będzie niejako wyprzedzać drugie. Umożliwi to wykreślenie interesujących krzywych Lissajous.
W moich doświadczeniach długości wahadła wynosiły około:
- L1 – 1,40m
- L2 – 1,30m
Masa wykorzystanego ciężarka była równa 0,05kg.
Wizualizacji krzywych Lissajous najlepiej dokonać na drodze rejestracji fotograficznej o długim czasie ekspozycji. Do ciężarka wahadła trzeba wtedy przymocować prosty oświetlacz, zbudowany z diody LED, włączonego szeregowo z nią rezystora (R w zakresie 1-5kΩ) oraz miniaturowej baterii o napięciu 3V (np. typu CR2032). Aparat fotograficzny powinien być ustawiony poniżej wahadła i być skierowany w górę, jak to pokazano na Rys. 2. Puszczone w ruch wahadło należy wtedy fotografować w ciemności, oczywiście z włączonym oświetlaczem, a czas ekspozycji trzeba dobrać eksperymentalnie. Zwykle będzie to kilkanaście, kilkadziesiąt sekund.
Zarejestrowane w ten sposób obrazy krzywych Lissajous przedstawia Fot.1.
Przy nieco innych długościach L1, L2, a także przy dłuższym czasie naświetlania uzyskano krzywą przedstawioną na Fot.2.
Widzimy więc, że figury uzyskane nawet w ten bardzo prosty sposób, odznaczają się swoistym, geometrycznym pięknem.
Oczywiście, wygląd krzywych można zmieniać w bardzo szerokim zakresie. Trzeba jedynie zmodyfikować długości wahadła, a także długość czasu naświetlania zdjęć.
Literatura:
- Crawford F. C., Fale, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1973,
- Gaj J., Laboratorium fizyczne w domu, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1985,
- Taylor C. A., The Art and Science of Lecture Demonstration, CRC Press, 1988.
Marek Ples